รู้หรือไม่ เกี่ยวกับพหุนาม

รู้หรือไม่ ?

การแก้สมการพหุนาม

     เรื่องการแก้สมการพหุนาม และสอนทั้งการใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ และการหารสังเคราะห์ประกอบกัน นักเรียนก็จะงง ตัวผมเองก็งง และมีคำถามว่า จะให้ทฤษฎีบทเศษเหลือทำไม ในเมื่อหารสังเคราะห์ก็ใช้ได้ และใช้ได้ดีกว่าด้วย (ในมุมมองส่วนตัว)

วันนี้จะคุยกันเรื่องนี้ก็แล้วกันครับ

ทฤษฎีบท    (ทฤษฎีบทเศษเหลือ: Remainder Theorem)
ถ้าหารพหุนาม p(x) ด้วย x – c เมื่อ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว เศษจากการหารจะเท่ากับ p(c)

เช่น

ตัวอย่าง    จงหาเศษเหลือจากการหาร x⁴ – 5x³ + 2x² – x + 2 ด้วย x – 3

วิธีทำ         ในที่นี้ x – c = x – 3  ดังนั้น c = 3

ใ้ห้  p(x) =  x⁴ – 5x³ + 2x² – x + 2
เศษเหลือจากการหาร p(x) ด้วย x – 3 คือ p(3)
จะได้     p(3) = 3⁴ – 5(3³)+ 2(3²) - 3 + 2 

                = 81 – 135 + 18 – 3 + 2 

                = -37

แต่ถ้าเป็นการหารที่ลงตัว หรือ หารผลหาร หรือ โจทย์ต้องการให้แยกตัวประกอบ หรือ แก้สมการ
ใช้การหารสังเคราะห์จะได้ประโยชน์มากกว่า และเร็วกว่าด้วยครับ

เช่น  (2x³ – x² – 8x + 15) ÷ (x – 2) = ? ด้วยวิธีการหารยาวแบบธรรมดา เราสามารถหาผลหารได้ดังนี้

         แต่ว่าการตั้งหารแบบการหารยาวข้างต้นนั้นเสียเวลาและเสียพื้นที่มาก เราจะใช้วิธีการหารโดยการไม่เขียนตัวแปร และจัดรูปแบบการหารใหม่ ดังนี้

ซึ่งพอจะสรุปวิธีการหารสังเคราะห์คร่าวๆ ได้ดังนี้ครับ

สมมติให้ p(x) แทนพหุนามที่มีดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 1

ถ้าต้องการหาร p(x) ด้วย x – c เมื่อ c ≠ 0 ด้วยวิธีการหารสังเคราะห์ 

จะมีวิธีการดังต่อไปนี้

1.  เขียนสัมประสิทธิ์ของพจน์ต่าง ๆ ของ p(x) โดยเขียนเรียงลำดับกำลังของ x จากมากไปหาน้อย และพจน์ใดไม่มีถือว่าสัมประสิทธิ์ของพจน์นั้นเท่ากับ 0
2.  เขียน c เป็นตัวหาร
3.  จำนวนแรกในแถวที่ 1 ให้ดึงลงมาในแถวที่ 3
4.  นำ c คูณกับจำนวนแรกของแถวที่ 3 นำผลคูณที่ได้มาใส่ในตำแหน่งที่สองของแถวที่ 2
5.  บวกจำนวนในแถวที่ 1 และแถวที่ 2 ในตำแหน่งที่สอง นำผลบวกใส่ในตำแหน่งเดียวกันกับแถวที่ 3
6.  นำ a มาคูณกับจำนวนในตำแหน่งที่สองของแถวที่ 3 นำผลคูณใส่ในตำแหน่งที่สามของแถวที่ 2
7.  บวกจำนวนในแถวที่ 1 และแถวที่ 2 ในตำแหน่งที่สาม   นำผลบวกใส่ในตำแหน่งเดียวกันกับแถวที่ 3

ทำเช่นนี้เรื่อยๆ ไป จนหมดทุกตำแหน่ง แล้วจะได้ว่า

• จำนวนแต่ละจำนวนที่ได้ในแถวที่ 3 (ยกเว้นจำนวนสุดท้าย) เป็นสัมประสิทธิ์ของของผลหาร ซึ่งจะเป็นพหุนามที่มีดีกรีน้อยกว่าดีกรีของ p(x) อยู่ 1
• จำนวนสุดท้ายของแถวที่ 3 เป็นเศษของการหาร

วีดิโอ การคูณ แลการบวกการลบ เอกนามและพหุนาม

 วันที่ 27 กันยายน 2556

ที่มา : http://coolaun.com/m4/admath4/equation/polyequa/